【课程编号】070037

数学分析2教学大纲

　　 　      Mathematical  Analysis  2

【学分】6          【学时】96

【编写】王卫东     【审核】易青

（一）   授课对象 

四年制本科数学与应用数学、信息与计算科学专业。　　　　　　　　　　　

（二）课程的性质和地位

本课程是大学本科数学与应用数学专业及信息与计算科学等专业的一门学科基础必修课。在为数学等专业设置的课程中占有非常重要的地位。它的任务是使学生获得极限理论、一元函数微积分学、无穷级数论、多元函数微积分学等方面的系统知识。本课程并为各门后继课程,如微分方程,复变函数,实变函数,概率论,大学物理等提供必需的基础知识和基本能力和思维方法的训练,为以后的学习,研究和应用打好基础。

（三）课程教学的目标

通过本课程的教学，使学生对本课程的重点内容有较深刻的理解，不仅为学习其它后继课程打下基础，同时也有助于培养学生的辩证唯物主义观点。通过本课程的教学，使学生掌握数学分析的基本概念、论证方法，获得较熟练的运算技能和初步应用的能力。

（四）教学内容

8．不定积分

（1）       原函数与不定积分概念。（2）基本积分分类。不定积分的运算法则。（3）不定积分的换元积分法与分部积分法。（4）有理函数、三角函数的有理式及简单无理函数的积分。

重点：原函数与不定积分概念。不定积分的换元积分法与分部积分法。

难点：有理函数、三角函数的有理式及简单无理函数的积分。

9．定积分

（1）       问题的提出（曲边梯形面积与变力作功）。定积分的定义，定积分的几何意义。（2）可积的必要条件。可积函数类。（3）定积分的性质。（4）定积分的第一中值定理及推广的积分第一中值定理。（5）变限积分及其性质。微积分学基本定理，牛顿——莱布尼兹公式。（6）定积分的换元积分法与分部积分法。（7）泰勒公式的积分型余项和柯西型余项。（8）可积性理论补叙，上和、下和及其性质，可积的充要条件。

重点：定积分的定义。定积分的性质。牛顿——莱布尼兹公式。定积分的换元积分法与分部积分法。

难点：可积函数类。推广的积分第一中值定理。可积的充要条件。

10．定积分的应用

（1）       平面图形的面积。（2）由平行截面面积求体积，旋转体的体积。（3）平面曲线的弧长与曲率。（4）旋转曲面的面积。（5）定积分在物理上的某些应用（压力、功、静力矩与重心）。（6）函数的平均值。定积分的近似计算。

重点：平面图形的面积。旋转体的体积。

难点：旋转曲面的面积。定积分在物理上的某些应用。

11．反常积分

（1）       两类反常积分的定义。（2）无穷积分的性质与比较判别法。 （3）狄利克雷判别法与阿贝尔判别法（4）瑕积分的性质与收敛判别。

重点：两类反常积分的定义。比较判别法。

难点：狄利克雷判别法与阿贝尔判别法。

12．数项级数

（1）       级数与级数收敛的定义，收敛级数的基本性质，级数收敛的柯西准则。（2）正项级数收敛性的一般判别原则，正数级数的比式判别法与根式判别法，正项级数的积分判别法。（3）交错级数的莱布尼兹判别法。（4）绝对收敛级数及其性质。（5）一般项级数阿贝尔（Abel）判别法与狄利克雷（Dirichlet）判别法。

重点：收敛级数的基本性质。正项级数收敛判别法。交错级数的莱布尼兹判别法。

难点：阿贝尔（Abel）判别法与狄利克雷（Dirichlet）判别法。

13．函数列与函数项级数

（1）       函数列及其一致收敛性，函数列一致收敛的柯西准则。（2）函数项级数及其一致收敛性，函数项级数一致收敛的柯西准则。（3）函数项级数一致收敛性判别法：维尔斯特拉斯判别法、阿贝尔判别法与狄利克雷判别法。（4）一致收敛的函数列与函数项级数的性质。

重点：函数列及其一致收敛性。函数项级数及其一致收敛性。

难点：阿贝尔判别法与狄利克雷判别法。

14．幂级数

（1）       阿贝尔定理，幂级数的收敛半径与收敛区间。（2）幂级数的性质。幂级数的四则运算。（3）泰勒级数、函数展开成泰勒级数的条件。（4）初等函数的幂级数展开式。（5）复变量的指数函数与欧拉（Euler）公式。

重点：阿贝尔定理。 幂级数的性质。初等函数的幂级数展开式。

难点：函数展开成泰勒级数的条件。

15．傅里叶（Fourier）级数

    （1）三角级数，三角函数系的正交性。（2）以2π为周期的函数的傅里叶级数，傅里叶级数收敛定理。（3）以2L为周期的函数的傅里叶级数，偶函数与奇函数的傅里叶级数。（4）贝塞耳（Bessel）不等式，收敛定理的证明。

重点：以2π为周期的函数的傅里叶级数。傅里叶级数收敛定理。

难点：贝塞耳（Bessel）不等式，收敛定理的证明。

（五）教学实践环节安排

（六）教学方式与习题要求

本课程采用启发式教学方法。黑板板书教学。本课程对习题的要求分两部分，一部分是学生在习题课内要完成的课内习题，一部分是每次授课之后要完成的课外作业（习题）。课内习题是根据各次习题课内容而安排给学生当堂完成的，一次布置3-4道习题；每次授课之后布置一次课外作业题，一般为4-5道题。根据本门课程特点和教学要求，论证性的习题应占一定比例，以有利于培养学生分析和解决问题的能力。每次作业批改1/3。

（七）考核办法

采用平时成绩和期末考试相结合，来进行考核。平时成绩包括平时的作业情况和上课表现。期末考试采用闭卷。一般,平时成绩占20%，期末考试卷面成绩占80%。

（八）推荐教材或讲义及主要参考书

1.  华东师大数学系编：《数学分析》,高教出版社,2001年6月第3版.

2.  P.M.菲赫.金哥尔茨：《微积分学教程》(第一卷至第三卷)人民教育出版社,1978.

3.  吉米多维奇：《数学分析习题集》李荣冻译,人民教育出版社,1982.

4.  W.Rudin：《数学分析原理》(中译本),赵慈庚等译, 人民教育出版社,1979.

5.  宋国柱编：《分析中的基本定理和典型方法》,科学出版社,2004.5.

（九）学时分配

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