第九次习题课
内容：第七章
重点：向量的概念、坐标表示与各类运算、
空间直线、平面的方程.
难点：向量的向量积、空间曲面.
专题1 有关向量的各类概念的分类与联系
1．
向量的基本概念及其属性：
向量的模（大小），向量的方向，两向量的夹角（特殊：平行，垂直）。
2.向量的运算：
1）加法 2）数乘 3）数量积 4）向量积
3.向量的坐标表示：
1）预备：数轴（一维、二维、三维），笛卡尔坐标系。点与坐标的对应。投影。
2）向径与向量的表示：
模的表示；方向的表示---方向角；向量夹角的表示；向量运算的表示。
例1
在三维笛卡尔坐标系中，有一个平行
四边形ABCD，已知A、B、C的坐标：
A(1,0，1) B(3,1，2) C(2,2，0)
1）
求D点的坐标。
2）
求
、
的夹角。
3）
求平行四边形ABCD的面积。
4）
验证ABCD的两个对角线垂直。
5）
将平行四边形平行移动，使得B点移至
原点，求另外三点移动后的坐标。
答案 1）
=+={-3,0,-3},D(0,1,-1)
2）arccos（1/2）=
3) |
|=||||sin
=3
4) ={-3,0,-3}，
{1,2，-1}，内积。
5）原={-1,1，-2}，C移动到(-1,1,-2)
原={-2.-1,-1}，A移动到(-2,-1,-1)
原={-3,0,-3}，D移动到(-3,0,-3)
例2
A（1,1,2），B（3，3，-2），求yOz
面上点C，在AB的垂直平分线上且与AB距
离为
。
提示：与A，B两点距离相等。（答案：（0,2，-1）
专题2 向量的运算
一、线性运算.
1．加法； 2.数乘。
例3：设
，试用
表示
（答案：
）
二．非线性运算。
1．内积：
2．外积：
方向右手系。
3.可解决的问题：
1） 共线问题与共面问题；
2） 求面积问题；
3）证明题（如证明不等式）。
例4：设点A,B，C的向径分别为
试证明A,B,C三点共线。
（提示：
成比例。）
例5：直线L通过点A（-2，1,3）和B（0，-1,2），求点C（0,2,1）到直线L的距离。
（答案：
）
提示：1）利用外积； 2）利用内积。
例6： 试用向量证明不等式
（提示：分别表示向量的长度与内积。）
专题：空间直线、平面以及向量
一、空间直线
一般方程：
对称式方程：
点向式方程： 
二．平面
点法式：
一般方程：
例7：求过直线
且与平面
成
角的平面方程。
（答案：
）
三、用向量及其运算解决平面与直线的问题
1.求平面以及直线的方程。
2．求线与线、线与面、面与面的夹角。
3．求点到平面的距离、点到直线的距离。
4．直线共面，平面共线等问题。
例8：求直线
与平面
间的夹角。（答案：
）
例9：证明：三个平面
，
，
共线。
（提示：求平面系，简单。）
例10：求点P（3，-1,2）到直线
的距离。（答案：
）
提示：求垂足，过此点作垂直两平面的平面即可。
思考：若直线是对称型怎么办？
如：求点P（3，-1,2）到直线
的距离。
（提示：有两种方法,前面例题中有一个向量的方法，还可以作垂直直线的平面。）
例11：求与直线
与直线
垂直且相交的直线方程。
（答案：
）
提示：所求直线的方向向量用
的方向向量的外积求得。然后据
；
各在一个平面上……
注：由此可以得到启发，在没有规定的情况下，求直线（平面）的方程的型式可灵活。
专题：空间曲线、曲面
一、曲面
曲面的一般方程：F（x，y，z）=0
常用到的二次曲面：
截痕法确定曲面形状的要点：
1）
确定x，y，z的范围。
2）
确定主要的三个截面：x=0，y=0，z=0
的形状。
3）确定x，y，z变化时截痕的变化
4）确定特殊的部分（如边界、邻接线）的形状。
二、空间曲线
一般方程：
参数方程：
例12：说出下列方程表示的曲面
1）
2）
3）xyz=0 4）
5）
6）
（答案：
1）
双曲柱面；2）锥面；
3）三个坐标平面；
4）双叶双曲面（或旋转双曲面）；
5）旋转抛物面； 6）椭球。）
补充题：
选择题：
1.非零向量
平行且同向，则下列式子中不正确的个数是
（ ）
;
;
； 
；
A. 
； B. 
； C. 
； D. 
；
解：第四式不成立，当
方向不同时，等式不成立。选B
2.下列说法正确的是
（ ）
1)任何向量都有确定的大小和方向；
2)任何向量除以它自己的模都是单位向量；
3)
，
为非零向量且
，则与平行；
4)只有模为的向量才是零向量；
A.
1)
2)； B. 2) 3)； C. 2) 4)； D. 3) 4)；
解1）零向量没有规定的方向
2）零向量不可以除自己的模。
选 D
3.已知
，
，则与
平行的单位向量为
（ ）
A. 
；
B. 
；
C. 
；
D. 
；
解：
只有
答案与之是平行的
4.已知点
和
，则向量
的方向角
分别为 （ ）
A.
； B. 
；
C.
；
D. 
；
解 
同理 
则夹角分别为
答案D
5. 设
是单位向量，且
，则
（ ）。
A. 
； B. 
； C. 
； D. 
；
解： 由，则有
由
有
再
即得 选B
6．下列曲线中，绕坐标轴旋转可以得到相同曲面的曲线是（）。
1）
； 2）
；
3）
A.1) 2)； B. 1) 3)； C. 2) 3)； D. 1) 2) 3)；
解 
1）绕
轴旋转得
2）绕
轴旋转得
选
7．两平面
的夹角为
（ ）。
A.
； B. 
； C. 
； D. 
；
解： 选C
8．若两直线
相交，则
（ ）
解： 设
得
代入
得
选Ｄ
补充习题：
1. 设是单位向量，且，则（ ）。
A. ； B. ； C. ； D. ；
解： 由，则有
由有再
即得 选B
2．下列曲线中，绕坐标轴旋转可以得到相同曲面的曲线是（）。
1） ； 2）；
3）
A.1) 2)； B. 1) 3)； C. 2) 3)； D. 1) 2) 3)；
解 1）绕轴旋转得
2）绕轴旋转得 选
3．两平面的夹角为
（ ）。
A.； B. ； C. ； D. ；
解： 选C
4．若两直线
相交，则（ ）
解： 设
得代入
得 选Ｄ
课后习题：
1求点D（3,1,3）到两向量
所在的平面的距离。（提示：
投影到
上）
2．求点（-1,2,0）在平面
上的投影。（提示：过此点作垂线）
3．求直线与平面
的夹角。
4．证明两直线
与
平行。
5．求点（-1,2,0）在平面上的投影。（提示：过此点作垂线）
6．求直线与平面的夹角。
7．证明两直线与平行。