第八次习题课
内容：第六章 （物理应用不考）
重点：微元法,定积分在几何上的应用。
难点：微元法,极坐标求面积。
专题1 定积分元素法的要点
1.被求的量有一个“不变”状态下的乘积表达式（前提）；
2.确定被积变量（如x）与被积的范围；
3.给出一个被积变量增量很小时的所求量的微元（如f（x）dx）；
4．利用极限的思想，写出积分表达式。
例1：一个长为a的不均匀细棒，其线密度为
（x为到某一固定端点的距离）。求此细棒的质量。（答案：
）
专题2 关于极坐标。
1.极坐标系：极点、极轴。极径，极角。
2.极坐标一般表示式：
3.极坐标
的范围：无限制时：
，
(对有周期的函数往往取它一个周期)它唯一受r的限制：
。
如：1）
故
。
2）
，故
。
4.常见的极坐标公式及其图形：
圆：
或
或
（a为半径）
心形线：
阿基米德螺线：
5.极坐标与直角坐标的转换：
极坐标
直角坐标：
直角坐标极坐标：
如：1）
化成
2）
化成
6.极坐标的对称问题：
若
，图形关于极轴对称。
若
，图形关于极点对称。
如：心形线：关于极轴对称。
双纽线：
关于极轴与极点均对称。
专题3：定积分的应用以及注意的问题
无论是几何应用或物理应用，其原理都是用元素法。
注意：以下所有的公式都是在标准的形式。对于具体问题，要学会变通！如果只会死套公式，学这一章就无意义了。
1.
求面积
注意：1）求面积关键要定出分界点以便分段以及上、下限对应的函数的大小。
定限方法：扫描定限：
直角坐标：横线竖扫，竖线横扫。
极坐标：射线旋转扫。
2）其次要考虑对x积分还是对y积分！
3）极坐标关键是要记住常见图形：圆、心形线，阿基米德螺线，的大致图形以及的范围。参数方程记住摆线、星形线即可。
A．直角坐标系下：
B．极坐标系下：
例2：（1）求由曲线
与曲线
所围成部分的面积。（答案：
）
提示：
（2）（书280第4题）求抛物线
及其在点（0，-3）和（3,0）处切线围成图形的面积。（答案见书后）
提示：（0，-3） 切线：
（3，0） 切线：
切线交点：
面积：
例3（1）（书280页8（1）题 ）求曲线
以及
所围成公共部分的面积。
（答案：书后有）
提示：注意画图。
（2）圆
被心形线
分成两部分，求这两部分的面积。
（答案：
，以及
）
提示：
为分界点。
2.
求体积
注意：1）这里只能求旋转体的体积以及界面面积已知的物体体积（一般物体的体积下学期学）。
2）要注意是绕哪个轴旋转。
3）对于稍微复杂的图形的旋转，可以用“投影法”……
例4：求由圆
绕x轴旋转所围成的环体的体积。（答案：
）
提示：
例5 分别求由曲线
与直线x=a，x=
答案：（
，
）
提示：x轴：
Y轴：（用微元法、投影法均可）
例6
设有一个椎体，底面为椭圆。底面椭
圆的长半轴为2，短半轴为1，高为3求其体积。（答案：
）
提示：
3.
求弧长
直角坐标下：
直角坐标参数方程下：
极坐标下：
例7（书282页27题）在摆线
，
上，求分摆线第一拱成1:3的点的坐标。（答案：书后有答案 ）
提示：设坐标对应参数为
例8 计算曲线
的全长
。
（答案：
）
提示：注意的范围。
补充习题：
选择题
1．
已知
与
所围成图形面积为
，则
的值
为 （
）
； 
； 
； 
；
解 与的交点：
则
，即得A。
2．由连续曲线
。（这里
）及直线
所围成图形绕
轴旋转一周所得的立体体积为
（ ）。
A.
；
B.
；
C.
；
D.；
解： 答案是A
3．曲线
与两坐标轴所围成图形面积为
（ ）。
A. 
； B. 
； C. 
； D. 
；
解 与两坐标轴的交点为：
则
。故填A
计算：
抛物线
通过点
两点，且
确定
的值，使抛物线与
轴所围成图形面积为最小。
解
抛物线过
点 
.
又过点
，
；
，
，
；
将代入上式： ,
，得 
（舍去），
，
代入
。
课后练习：
1．求抛物线
及其在点（
）处的法线所围成的图形的面积。
2．由y=
，x=2，y=0围成的图形，分别绕x轴与y轴旋转，分别求旋转体体积。
3．计算阿基米德螺线
，对应于
到
的一段弧对应极轴所围成的面积。
4. 求曲线
自t=0至t=1的一段弧。