第七次习题课
内容：第五章
重点：求定积分，变上限积分。
难点：变上限积分的求导、反常积分。
专题：定积分的计算方法
1.
利用不定积分求；
2．利用被积函数的性质求。
例1 求下列定积分
（1）
答案：0
答案：0； 提示：奇函数对称区间。
注意：对于反常积分失效！如：
（不存在！）
（即使答案正确也不能用奇(偶)函数！）
（2）
答案：4
（3）
答案：发散
(注意：不是一般定积分！有瑕点。（这在不定积分中不需要考虑，因为无需定限。）
（4）
答案：
注意：去根号时要打绝对值。
例2：求下列定积分
（1）
（答案：4/3）
（2）
（答案： 
）
（3）
（答案：
）
（4）求
，其中
（答案：
）
（5）设
，求函数
在
的表达式。
答案：
专题：定积分的性质的作用以及变上限积分
1.利用定积分的性质解题
例3：估计积分值
（答案：在[
，
]之间）
2.证明题
例4 若在[a,b]上，f（x）连续，且
，
，证明在[a,b]上，f（x）
0
提示：反证法。连续函数的性质。
例5 证明：
。
提示：积分区间对半分，然后换元。
3．变上限积分的求导
例6：（1）
（答案：
）
注：两类不定积分
直接积分不可能积出，下题同。
（2）
（答案：
）
（3）求极限
（答案：2）
2.
数学中动态量，变量，常量问题初探：
1）
概念：
常量：任何时候都不改变的量。
变量：研究函数等问题时，一个量可以取不同的值。这样，往往用一个字母来代替。这叫变量。如
中的x与y。
动态量：研究极限问题时，往往要求变量趋向（朝某方向运动。）于某值，这样的变量是“动态量”。如
中的x。
2）
三者关系：
动态量是变量、变量运动时是动态量；
变量取定某值时为常量；
三者之间有时可以相互转化。
3）
数学中处理变量的原则：逐一处理。
如：(1) 
在求极限过程中
是动态量（也是变量），x暂时作“常量”。
(2) 
在连加中i为变量，j暂时作“常量”。
（3）
在积分过程中t为变量。x暂时作为“常量”.
4）变量的分类：
离散型：变量活动的范围是有限个或无限可列个数值，这样的变量是离散型变量。
连续型：变量活动的范围是无限不可列个数值，如区间[a,b],量是连续型变量。
离散型与连续型变量有时是特殊性与一般性的关系。做题时可以互相利用。
5）量的替换的原则：
等量替换 。。。，动态量替换。。。，常量与变量互换，。。。常量与动态量的互换。。。
例：（1）
（2）
（3）
专题：反常积分的问题
反常积分的关键在于要学会判别是否反常积分以及反常积分的种类。
例7：求下列定积分
（1）
（答案：8/3）
（2） 
（答案：
）
注：换元时暂不考虑是否有无穷间断点。有时换元后变成了正常积分！
例8：求下列定积分
（1）
（答案：发散）
（2）
（答案：
）
（3）
（答案：
）
补充习题：
选择题
1.
的极小值是（ ）
解：
驻点为 
当
，
时，
取极小值
选B。
2. 设
在
上连续，则
（ ）。
；
；
；
解 令
，则
=
故
3.设
,则
（ ）。
； 
； 
； 
；
解 I
7.证明：利用定积分的性质证明：
证明：
令y=
，
又
而
，故
，所以：
即
在
内单调递减
也即
课后作业：
1.求下列定积分（注意判断反常积分）
（1）
（2）
（3）
(非反常积分，积分区间对半然后换元)
2.求极限
3．证明：已知f（x）连续，证明：
提示：积分限分一半，然后对后面一半令x=