第五次习题课
内容: 第三章第四节至第七节
重点: 函数各类性状的描述；函数作图。
难点: 曲率；利用函数的性状证明题目。
专题 函数的性状的总结
1.
单调性以及极、最值点；
注意：极值与最值的关系；对于可导函数，驻点是极值点的必要非充分条件。
2.
凹凸性以及拐点；
注意：若函数有二阶导，
是函数凹（凸）的充分条件。不是必要条件！
是拐点的必要条件。
3.
渐近线；
渐近线取决于无穷远点的极限。
铅直渐进线x=a：
水平渐近线y=b:
4.
奇偶性:若是奇函数（或偶函数）就只需要考虑半边。
5.
周期性：若是周期函数就只需要考虑一个周期。
说明：函数的奇偶性与周期性与函数的导数没有关系。但是在描绘函数图形时不可不考虑它们。
例1：求函数
的图形
解：定义域：
奇函数；
驻点： 
拐点：x=0
无水平渐近线，铅直渐进线：x=1与x=-1
斜渐近线：y=x
专题：函数的极值与最值
单纯函数的极值与最值的求法比较简单，按书中步骤即可。具体问题的最值往往只有一个驻点。这个驻点一般不必判断就是最值点。
例2 某地区防空洞的截面拟建成矩形加半圆。截面的面积为5
。问底宽x为多少时才能使界面的周长最小，从而使建造时的材料最省。
提示：面积
周长： 
答案：底宽：
例3 求函数y=
在[-5，1]的极值与最值。
答案：最大值：
最小：
极大：无极小值。
专题：利用函数的性状证明题目：
1． 利用函数的单调性证明不等式
特点：不等式的某一边是单调函数（用求导判）。
例4：证明：当
时，
。
证明: 令
当时，
连续，
且
则在时单调增加，即时
2．利用函数的单调性证明方程的根的个数
依据：方程的根对应函数的零点。
例5.证明方程
有且仅有一个实根。
提示：令
。利用单调性证明至多只有一个实根。在[0，2]上利用介值定理证明存在一个根。
有了导数与单调性的关系后，一般方程的根的个数以及范围均可以确定下来！
3.利用函数的凹凸性证明不等式
特点：1）有相同结构的和；
2）有中点值；3）单边不等式。（注意与中值定理的条件比较）
例6： 
提示：令y=cosx
4.总结：到现在为止，证明不等式的常用方法有以下：
1）
利用中值定理;（运用原则见上次习题课）
2）
利用泰勒公式;（不作要求）
3）
利用函数的单调性与极（最）值；
4）
利用函数的凹凸性.
例7 现在给出几个不等式的证明题目，请同学们判断它们各用什么方法证明并证明之。
（1）
证明：当
时，tanx-x
0
（2）
证明：
（3）证明：
（4）对于
，证明
提示：（1）用单调性；
[0，
（2）用凹凸性；
在[a,b]
（3）用函数最值；
（4）用中值定理。
在
补充练习：
选择题：
1对数曲线
上哪点处的曲率半径最小
（ ）
A．
；B．
；C．
； D．
。
解 选（A）。
，令
得
。
2．设偶函数具有连续的二阶导数，且
则
（ ）。
A．不是的驻点；
B．一定是 的极值点；
C．一定不是的极值点；
D．是否为极值点，还不能确定。
解：选（B）
是偶函数，
得
。
3．曲线
的曲率的最大值为（ ）。
A．
； B．
； C．
； D．
。
解 选（B）。
，当时，
。
4．对数曲线上哪点处的曲率半径最小
（ ）。
A． ；B． ；C．； D．。
解 选（A）。，令得。
课后习题：
1.
画出函数 
的图形。
2.
证明：
时，
3.一个半径为
的球内有一个内接正圆锥体，问圆锥体的高和底半径成何比例时，圆锥体的体积最大？
4.设
，利用最值证明不等
式：
。
提示：令
，