第四次习题课
内容： 第三章第一节至第三节
重点： 拉格朗日中值定理；用洛必达法则求极限；函数的泰勒展开与近似计算。
难点： 柯西中值定理。
专题1 微分中值定理的应用
中值定理有四个，其中罗尔定理可以看成是拉格朗日中值定理的特殊情形。拉格朗日中值定理是柯西中值定理的特殊情形。柯西中值定理用得比较少。泰勒中值定理是拉格朗日中值定理的另一种推广.
1． 证明不等式
适合用中值定理的不等式一般具备下列几个条件：1）具有相同结构的差值；2）有导数的影子；3）双边不等式。
例1设
证明：
提示：令
，利用拉格朗日中值定理。
例2 证明：
提示：令
，用拉格朗日中值定理。
（对a讨论）
2.证明方程根的存在性
例3 若方程
有一个正根
，证明：方程
必有一个小于
的正根.
提示：用罗尔定理。区间[0，]。
例4 设函数
，
则方程
有( ).
(A)一个实根 (B)两个实根
(C)三个实根 (D)无实根
解析：利用罗尔定理
答案：(C).
3.证明函数导数的状况
例5 设
在
上连续，在
内可导，证明（1）在
内至少存在一点
，使
.
（2）若
，则对于任意
，存在
，使
，
例6 设f（x）在[0,1]上连续，在（0，1）内可导。f（1）=1。试证至少存在一点
，使得 
.
提示：用拉格朗日中值定理。
例
证明：F（x）=
在（0,1）内存在c,使得
例8 设
在
上连续，在
内可导
，证明：存在,
，使得 
.
提示：待证式变形为
，提示通过拉格朗日中值定理确定
，再对
和
在上利用柯西定理即证.
专题2 洛必达法则求极限以及注意的问题
1. 每一次求导前均注意是否未定型；
2. 求导后若极限不存在不要贸然下结论；
3. 常常结合其它方法使用，不要一看到未定型就用它。
例5：求下列极限
（1）
（答案：1 ）
（2）
。
（答案：2）
(3)
提示：用换底公式 答案：
专题3 函数的泰勒展开
1. 泰勒公式展开方法：
（1） 直接法
求高阶导比较方便易找规律时用此法。注意有两种形式的余项：拉格朗日型与佩亚诺型。按照题目要求做。前者常用来估计误差，后者简便。它们其实是等价的！
例6 分别求y=
在x=0 与x=1点的泰勒展开式。
答案：
X=0：
X=1：
例7写出按
的乘幂展开多项式
的表达式。
答案：
（2） 间接法：
此法相对灵活，就是不直接按部就班求导，而是分部分求导或通过变量代换利用原来的已知公式展开。
例8 求
的带拉格朗日型余项的麦克劳林展开式。
例9 求
的带佩亚诺型余项的马克罗林展开式。
答案：
2. 函数的泰勒展开的用途
（1） 利用多项式函数近似代替一般函数。
说明：泰勒公式与微分都是求近似。
联系：微分公式可以看成一阶泰勒公式。
泰勒公式优点：精确可控；缺点：复杂。
微分公式优点：简单；缺点：不算很精确，不可控。
例10 用二阶泰勒公式求
的近似值，并估计误差。然后用微分求一遍它的近似值，以此验证两种方法的优劣。
答案：泰勒：
=0.8571
误差小于
微分：
（2）利用泰勒公式求极限（少用）
例11 
（提示：将
展开，答案：1/2）
(3)证明不等式
注：此种方法较难。作为本科生不作太多要求。
例12：证明：
时
提示：将
作泰勒展开。
（4）证明函数的导数等性状
说明：我们发现，泰勒公式与微分中值定理有相似的功用。这是因为泰勒公式中的末项用到了中值定理。
例13 证明f（x）是n次多项式的充要条件是
。
提示：关键是充分性的证明。
补充习题：
一．选择题
1．在区间
上满足罗尔定理条件的函数是
（ ）
A．
B．
C．
D．
。
2.
在
可导且
,则（ ）
（A） 至少存在一点
，使
；
（B） 一定不存在点
，使；
（C） 恰存在一点，使；
（D）对任意的，不一定能使。
3．下列各式应用罗必达法则正确的是（ ）。
A．
B．
C．
不存在；
D． 
。
解
选（B）。A，D:不能用洛必达法则；C：
。
课后习题：
1.若f(x)在[a,b]有n阶导，且
证明在（a，b）内至少存在一点
使得
。
2利用罗比达法则求极限
（1）
（2）
3. 利用泰勒公式求极限：
4.将函数
按（x+2）的幂展开的带有拉格郎日余项的泰勒公式。