第三次习题课

内容：第二章

重点：导数与微分的概念及其理解，所有函数的求导；一般隐函数与参数方程的求导。

难点：左右导数，高阶导，隐函数与参数方程的高阶导。

专题1 导数（微分）的概念、意义以及应用

1．概念的本质：

导数：变换率的极限

微分：原函数的线性近似（以直代曲）

2.意义:导数与微分解决了自变量增量很小时函数的变化情况。导数与微分是一个大问题的两个侧面，联系紧密，但是概念绝不同！

3．应用:

（1）几何应用

1）求函数的切线或法线；

2）求函数在某点的近似值；

3）求函数单调性（下一章）；

4）求函数凹凸性 （下一章）；

5）为积分作预备。

我们常将“高等数学”称为“微积分”，是因为“微分”与“积分”是互逆的过程。

例1 求下列函数的导数

（1）,求。

答案：

=

（2） ,求。

提示：幂指函数，换底。

（3）求。

提示：这是分段函数。

（4）设由方程组，确定了y是x的函数，求。

（答案：；

，=）

例2椭圆的参数方程 ,求它的一条与x轴交角为的切线的方程。

（答案：或）

例3 一技术人员在工作中没有带计算器，需要的近似值，问有没有办法求，近似值为多少？（答案：）

（2）物理应用举例

例4 已知物体运动规律为（米）。求当秒时物体的速度与加速度？

解: （米/秒）。

（米/秒²）

专题2 各类求导中变量的灵活处理

1.一般求导原则：由外到内，能加减不乘除，能乘不除。

2.变量之间的关系：

复合函数中有三种变量：自变量、中间变量、因变量。

方程中：牢记一个原则“一个方程解一个未知量”。那么，一个二元方程确定一个一元函数，一个参数、两个变量的参数方程确定一个一元函数。

在此类求导中，最方便的就是用的形式。如：

1），即y=f(u),u=g（v），v=h（x）。

2）

3）则

注:我们发现，学了微分以后，原来导数中是整体的，现在完全可以拆开来使用！看做两个微分的商，所以导数又叫“微商”。

例5 求参数方程的二阶导。（答案：，）

专题3 对数求导法。

作用：简化乘除为加减，化简幂指函数。

注意：幂指函数既不是幂函数，也不是指数函数，更非幂函数与指数函数的复合。

例6：求的导数。

答案：

]

例7：求的导数。

答案：

专题四 分段函数的求导法

分段函数求导：在非分段点用常规求导，在分段点用左右导数求导，注意求导前判断连续性！

注意：在求左右导数时，尽可能避免用定义求（就象前面分析分段点的连续性一样）。

例8：已知函数

，

在x=0处有二阶导，试确定a，b，c的值。

（a=-1/2，b=1，c=0）

例9 已知函数

问：1）当为何值时，函数在x=0连续；

2）当为何值时，函数在x=0可导。

（答案：>0连续；>1可导）

补充习题：

一．填空题

（1） （2）

（3） （4）

（5）若在处可导，，则

。

解 若在处可导，且，则

二．选择题

1.设则（ ）。

A． B． C． D．

2. 若则（ ）

A．B． C． D．。

3、如果处处可导，那么有 （ ）

（A）； （B）；

（C）； （D）.

4、若函数为可微函数，则（ ）

（A）与无关；

（B）为的线性函数；

（C）当时为的高阶无穷小；

（D）与为等价无穷小.

5、设函数在点处可导，且，则 等于（ ）.

（A）0； （B）-1；

（C）1； （D）.

课后练习：

一． 求下列函数的导数：

（1）

（2）

（3）

二．求函数的高阶导的表达式

（提示：先降成一次幂）

三．求下列分段函数

的导数。

四．求参数方程的二阶导。