第一次习题课

内容：第一章中求极限部分

重点：求各类极限

难点： 极限求法的综合应用及方法选择。

专题 求极限的方法—未定型析出法

所谓“未定型”，通俗地说，就是不能直接代入的极限型号.

狭义未定型:

（以下不是未定型：）

广义未定型（少见）：

0+0+…+0 (n个0)，(C，D均无极限，且)等.

定型(据四则运算法则与无穷大无穷小的关系):

为非零常数)

未定型析出法原理及操作原则:先分析未定型型号,以函数连续性为基础,将未定型化为定型,最终直接代入.

具体化有：(1) 洛必达法则（第三章讲）.

（2）分子（分母）有理化;

（3）套用重要极限;

（4）等价无穷小替换;

(5)一个性质两个准则。

例1 （1）

（2）

分析 (1) 型,有理化.(2) 型,抓大头.

注意：它们也可以用洛必达法则做。

答案: （1）2. （2）1

注意1：极限的类型不要搞错,如：

例2 (1)求(2)

分析:有界乘无穷小为无穷小.

答案：(1)0. (2)0.

例3 （1）

(2)

分析：（1）型（2）型。化成常见未定式，注意变量替换.

注：用洛必达法则简单

答案:（1）1/2 (2)1/2e

注意2：针对简单的情形可以直接观察得到结果但是须慎用。

如以下可以直观察可得正确结果：

例4

分析: 型,重要极限1

答案：4/3

例5 （1）

（2）

(3)书中74页8（4）题

分析: 均型,用重要极限2.

注：用洛必达法则简便。注意第(2)题用洛必达时要换成函数.

答案：(1)e ; (2).(3)

注意3：用重要极限(1)，套用重要极限时要严格按照形式。比如以下两例就不是重要极限： 与与。

(2)记住一个原则，凡是未定型均可用重要极限2.

例6 求

分析:看起来复杂,用连续性可以解决大半.

答案：0

例7 求

分析:利用到了连续性.

答案:sin2.

例8 求

分析:用夹逼准则，提示

答案：0

例9 求

分析:用夹逼准则.

答案：1

注意4:夹逼法要点：先观察（重点观察“主要部分”），再适当放缩。注意放缩要适度（放缩的是“次要部分”）。

例10（1）;

（2）.

分析:等价无穷小代换，注意层次与替换原则.

答案：(1)2 ; (2)-3

注意5：等价无穷小替换需注意(1)乘除可以替换，加减不行(实际上有时候可以,但是讨论它失去了简化运算的意义,因此干脆一律不用)。请谨慎使用.

(2)常用等价无穷小替换

例11 当时，求

；

分析：广义未定型,“链式反应”化成一项，

答案：。

例12 设数列满足

证明此数列收敛。并求极限。

分析：且数列单调减小。

答案：-1

选择填空

1．当时，，要使得当时，总有，则是（ ）。

A. B. C. D.小于1的任何数。

解 选（C）。

2. 设，则在点处（）。

A. 有极限；

B.左、右极限不存在；

C. 左、右极限存在但不相等；

D. 左、右极限存在且相等。

解 选（C）。

3．观察一般项如下的数列的变化趋势，收敛的数列是（ ）。

A. B.

C. D. 。

解 选（C）。

4．观察数列，结论正确的是（ ）。

A.发散； B. 收敛于1；

C. 收敛于2； D. 既不发散也不收敛。

答案：B

5．当时，下列函数为无穷小的是（ ）。

A. ； B. ； C. ； D. 。

解 选（D）。

6．已知，则 。

A. 3； B. ； C. ； D. 。

解 选（B）。

7、（ ）

(A)1； (B)-1；

(C)0； (D)不存在.

答案：D