总复习1
典型例题精选
一、计算
1、极限与连续。
*例1 求极限
（05-06）A
提示：利用重要极限。
答案：2。
例2判断极限
是否存在。
提示：不存在。取直线族
。
2、多元函数求偏导；极值与最值。
*例3 设
，（1）求
（2）设
，求全微分
（03-04）
答案：（1）=0
（2）
**例4 
，其中
有二阶连续偏导数，求
。（02-03）
答案：
**例5 在第一卦限做椭球面
的切平面，使得该切平面与三坐标面所围成的四面体的体积最小，求切点的坐标。（07
提示：切平面的方程：
四面体体积：
，拉格朗日乘数法：
提示：运算讲究技巧。（利用对称）
答案：切点坐标
**例6 
，求
答案：
；
*例7 若函数
在点
处取得极小值，求a。
答案：a=-5.
*例8求函数
在点
处的梯度和沿该梯度方向的方向导数。（04-05）
答案：梯度：
；梯度方向的方向导数：
。
例9求曲线
在点（1，2，1）处的切线方程与法平面方程。(08-09)
答案：切线：
法平面：
2、二重积分与三重积分。
*例10 计算二重积分
围成的区域。
答案：
*例11求
，其中D是闭圆域
（05-06）
提示：利用对称性。
答案：0。
*例12交换积分次序并计算：
(04-05)
答案：
**例13 
，
由
确定。（05-06）
提示：利用球面坐标（此题柱面不好算）。
答案：
**例14求
，其中为上半球体
(08-09)
提示：用球面坐标。
答案：
注意：不能将被积函数代4。
**例15 
由锥面
与平面
所围成。(06-07)
提示：利用柱面或球面坐标均可以。
答案：
柱面：
球面：
=
**例16计算
，
所围四面体。
提示：先一后二或先二后一均可。建议尽可能先一后二。
答案：
=
**例17求曲面
被柱面
所截下的部分的面积。
答案：
D为单位圆所围的平面区域。
*例18 将下列积分化极坐标形式，并计算
答案：
=
3、曲线积分与曲面积分；
*例19 
，
顶点为（0，0），（3，0）和（3，2）的三角形的正向边界。（07-08）A
提示：直接积分或用格林公式均可。
答案：
。
例20计算曲线积分
，其中L是曲线
。（05-06）A
提示：技巧是将
取代被积函数！
答案：
例21计算曲线积分
，其中
是直线
与两坐标轴所围成的三角形的边界。（04-05b）
答案：
注意：下限必须小于上限。
例22
从
到
(06-07)
提示：加B到A的直线段后用格林公式。
答案：
（D为单位圆的上半部分）
**例23：
，其中
是上半球面
的上侧。（05-06）A
提示：加底面（下侧）利用高斯公式。
答案：
为上半球面。
***例24：计算
半球面
（
的上侧，(08-09)
提示：加底面z=a（下侧）利用高斯公式。
答案：
为
上侧。
=
**例25：利用高斯公式计算
为球面
的外侧。(06-07)
错解：
答案：
**例26：
外侧（02-03）
提示：典型的利用高斯公式。
答案：
，下面做法同上面例14。
**例27 求
，其中
为锥面
被平面z=0与z=3所截的部分。
注意：不要看做是二重积分。
答案：
*例28计算曲线积分
(04-05)
提示：将
代替被积函数。
答案：。
例29 计算
其中为锥面
以及平面
围成的整个边界曲面。
答案：
=
4.级数展开及其求和函数
例30将下列级数展开成幂级数，并指出收敛区间。
（1）
（2）
答案：（1）
（2）
*例31：将
展成x的幂级数，并指出收敛区间。（06-07）A
答案：
收敛区间：（-1,1）
**例32将
展开成
的幂级数，并指明展开式成立的区间。
提示：
答案：
成立区间：1<x<3
例33将
展成正弦级数。（07-08）
提示：对函数作奇延拓。
答案：
级数: 
。
**例34求级数
的和函数
提示：利用指数函数展开式。
答案：
5.解微分方程。
*例35求
的通解，。
提示：一阶线性：
答案：
**例36设可导函数
满足
，
求(08-09)
提示：求导变有初值的微分方程
答案： 
*例37求微分方程
的通解。(04-05)B
答案：
。
*例38求微分方程
的通解。
提示：利用全微分方程
答案：
*例39求欧拉方程
的通解。（05-06）A
答案：令
。方程变为
通解：
二、判断
*例40：判别下列级数的敛散性。
（1）
（2）
提示：（1）比值加重要极限。收敛。
（2）不满足收敛必要条件。发散。
*例41求幂级数
的收敛区间.（05-06）
答案：收敛区间为
（注意边界）
*例42判别下列级数是否收敛？若收敛，是条件收敛还是绝对收敛？
（1）
（2）
（07-08）
答案： （1）收敛；绝对收敛（比较
）。
（2）收敛，条件收敛。证明{
}（在n足够大时单调减可辅助函数：
,求导。
**例43判断下列级数的敛散性
（1）
（2）
提示：（1）比较的极限形式（2）分情况讨论。
答案：（1）发散（2）
时散，
敛。
三、证明：
***例44设
，（n=2,3,….）证明：当
时，幂级数
收敛，并求其和函数。(08-09)
提示：易证
，据阿贝尔判别法
答案：设n项和为
，则用错项相减：
两边同时取极限
得和函数
**例45设
1。证明：若
收敛，则
收敛。2，上述命题的逆命题是否成立？证明你的结论或给出反例。(06-07)
提示：利用不等式
逆命题不成立，反例：
,其中
*例46证明下列曲线积分与路径无关并计算：
对应于
从
到
的一段弧。（04-05）
提示：验证
即可证明。
答案：0。
四、应用
例47一个半球状的雪堆，其体积融化的速度与半球面积
成正比（比例常数为
），假设在融化过程中雪堆始终保持半球状，已知半径为
的雪堆在开始融化的3小时内，融化了其体积的
，问雪堆全部融化需要多少小时？（02-03）
提示：
列微分方程：
有：
，初值条件：
答案：
，全部融化要6小时。
**例48要造一个容积等于定值k的长方体无盖水池，应如何选择水池的尺寸，方可以使其表面积最小？
提示：设长宽高各为x，y，z
约束条件：xyz=k
用拉格朗日乘数法做。
答案：
说明：后面标注的如（06-07）表示式取自06-07年度本校的试题。
打*号的表示难度，一个*表示较为简单的基本题，两个*表示难度中等，三个*表示较难。