第七次习题课
内容：第十一章第四节至第八节。
重点：函数的幂级数展开与傅里叶展开
难点：傅里叶级数。
专题：函数的幂级数展开方法总结。
一、 直接法。（等比、裂项或递推）
二、 换元法。
三、 四则运算法。
四、 逐项求导（积分）法。
例1已知函数
，
（1）
将函数展开成x的幂级数；
（2）
将函数展开成（x+4）的幂级数。
提示：裂项加等比。注意针对不同的展开点有不同的展开方法。
（答案（1）
（2）
例2 将
展开为x的幂级数。
提示：求导后展开，再逐项积分。先导后积。（注意积分后的下限！）
答案：
例3 将
展开成x的幂级数。
提示：
，对导数里面的函数展开，再逐项求导。先积后导.（注意首项）
答案：
例4 将函数
展开成x的幂级数。
提示：四则运算+换元.
答案：
例5 展开
提示：换元+四则运算+先导后积。
答案：
专题：求级数的和（或幂级数的和函数）
一．常见数项求和法。
1.等比； 2.错项相减。
二．逐项求导与逐项积分。（上一次习题课讲过，本次习题不举例）
三．利用泰勒级数（换元或加减项等）。
四．利用傅里叶级数（少见）。
例6 求下列级数的和。
（1）
提示：利用
的泰勒展开式。
答案：
.
（2）
提示:利用
的泰勒展开式，再求导两次…
答案:2e.
例7：求下列幂级数的和函数
提示：利用指数函数的泰勒展开式。关键在于如何搭配通项。要经历几个步骤。
（答案：
）
（2）
并求:
提示：利用指数函数的泰勒展开式。
（答案：
;
）
专题：函数的傅里叶展开。
两种展开法的比较：
|
|
幂级数展开 |
傅里叶展开 |
|
公式 |
|
|
|
条件 |
f（x）在 |
周期函数f（x）在一个周期内最多有限个第一类间断点和极值点。 |
|
范围 |
一般初等函数均可。 |
周期函数或定义域为有限区间的函数。 |
|
局限 |
条件较强（比后者强）。 |
应用范围小。间断点不收敛于函数值。 |
|
应用 |
近似计算。计算特殊积分。 |
波与振动问题。 |
注意：函数的傅里叶展开，我们只需要针对简单的函数能套公式些出展开式即可，比必要做太多其它题型。
例8 设下列函数的周期为
，求其傅里叶级数。
提示：偶函数。
答案：
（
）（注意级数做了延拓）
例9 设周期函数在一个周期内的表达式为
试将其展开成傅里叶级数。
提示：偶函数，
答案：
（）
补充习题：
第六次作业第4题：
4.函数
关于
的幂级数展开式为（ ）。
A．
； B．
；
C．
； D．
。
解 选B.
第七次作业第7题:
7．将函数
展开成的幂级数。
解 
而
即
第九次作业第7题：
7．将函数
展开成的幂级数，并据此证明
.
解 因为
，
所以 
所以 R=+∞，收敛区间为（-∞，+∞）
又 
由上知 
所以 