第五次习题课

内容：第十章第四节至第七节

重点：两种类型的曲面积分、高斯公式

难点：高斯公式、斯托克斯公式

专题：两类曲面积分与重积分的关系

说明：（1）一代,二换,三投：代z，换 ，D为的投影。

一代,二投，三定向：代z，D为的投影，定向：确定曲面的侧的方向。

（2）求曲面积分的重点就是这个“投”字！投影要以计算（第七章讲过！）为主，作图为辅。难也难在于投影有时候不是投在xoy面，而是投在xoz面和yoz面。

例1计算曲面积分，其中为锥面被柱面所截下的有限部分．（第五次作业第五题）

分析：首先确定是哪一类积分，然后“以直代曲”，这里有两个面，前者是确定被积曲面的；后者是用来确定化重积分的积分区域的。

答案：

例2 计算曲面积分

是柱面被平面所截得的在第一卦限的前侧。

问：用高斯公式方便吗？

分析：注意投影及其符号。

答案：

专题：各种积分之间的关系

1图示：

2.现在为止，已经介绍了所有各种定积分与重积分的变式。综合起来，可以用下列口诀记忆：

以直代曲微转换

变量统一看相关

积分升级看闭域

偏导只作导数观

3.所有积分的规律总结：

所有积分，有两大要素：一是被积函数部分；二是被积微分部分。其中微分部分又含微分形式和范围。形形色色的积分均从第二个要素变化而来，比如：

对定积分的微分部分变化，将微分范围由x轴的一段变成曲线的一段，就成了曲线积分，微分形式不变的是第一类，微分形式改弧长的是第二类。定积分可作为两类曲线积分的特殊情形。

对二重积分的微分部分变化，将微分范围由xoy面的区域变成曲面的一块，就成了曲面积分，微分形式不变的是第一类，微分形式改面积的是第二类。二重积分可作为两类曲面积分的特殊情形。

综上：积分变量分成1维、2维、3维；1维对曲线（直线）；2维对曲面（平面）；三维对立体。总的说来，对积分变量的处理仍然是“以直代曲”：以对直线的定积分求曲线积分；以对平面的二重积分求曲面积分！

例3求曲面积分

，其中为球面的外侧.（据第六次作业第七题略改）

提示:复杂的形式的积分，第一：是否据可将变量代常量；第二：能否用对称性；第三：能否根据两类积分的关系转化，一般都是第二类化第一类，此种情况一般被积函数含有的表达式第四：利用高斯公式。此题恰好四种方法都可以用！

答案:

例4计算

。其中f（x，y，z）连续，为平面在第一卦限的上侧。

（利用两类曲面积分关系公式，答案：1/2）

例5（第7次作业第6题）计算曲面积分

，其中是锥面，而是锥面上的点处外法线的方向余弦.

提示：利用高斯公式，注意加盖封闭。

答案：

(为上侧，与所围区域为，)

例6 计算

其中为上半球体

表面的外侧。

分析：典型的利用高斯公式，记住：只要涉及dxdy，dxdz，dydz在一起的都要想到高斯公式！它是封闭曲面。

答案： 。

专题 通量、散度；环流量，旋度的理解及其关系：

通量：通过曲面的场的流量。如：水流的快慢…

散度：一个点产生的场的强度。如电场某点有电荷…

环流量：场在一个封闭环的流量。

旋度：场在某点的旋转的强度。如江水的漩涡…

关系：

1. 不可压缩的流量场（如：水流、电场）流经一个封闭空间的通量（流量）等于封闭空间各处产生的源头强度之和。

2. 流量场流经一个封闭环的环流量相当于环内曲面各点旋转强度之和。

例6求下列向量

穿过以（3，-1,2）为球心，3为半径的球面的流向外侧的流量。

提示：求通量，封闭曲面积分，用高斯公式；

答案：108.

例7求向量场沿（从z轴正向看去，逆时针方向）的环流量。

提示：曲线积分；答案：2。

补充：

第6次作业第3题：

1．设为柱面被平面及所截得的在第一卦限的部分，取外侧；在面、面与面上的投影区域分别记为、与，则

可化为二重积分（ ）

A． B．

C．

D

解 选 A

第9次作业第2题

设为抛物面介于平面和之间的部分，则

解 填

第9次作业第3题：

3．设是平面在第一卦限部分的上侧，是在面上的投影区域，则曲面积分（ ）

A．

B．

C．

D．

解 选D