第四次习题课

内容：第十章第一节至第三节

重点：两种类型的曲线积分的计算。格林公式。

难点：两种类型的曲线积分的联系、格林公式的应用。

专题：两类曲线积分以及二重积分的联系。

解释：三代一定：x，y，s代换，定限。

二代一定：x，y代换，定限。

定积分可以看做一种特殊的对弧长的曲线积分：弧为x轴。

定积分也可以看做一种特殊的对坐标（对弧长）的曲线积分：积分曲线为x轴正向。

例1：计算下列对弧长的曲线积分

（1）设是曲线

上对应于的弧段，求 (第一次作业 )

（答案：）

（2）设为椭圆，其周长记为，求曲线积分.（第一次作业）

技巧1：利用求弧长；技巧2：利用对称性。

（3）计算，L为圆周及x轴围成的在第一象限的闭区域的边界。

（答案：，体会与第二类曲线积分的不同）

例2：计算下列对坐标的曲线积分

（1），

其中是曲线与轴所围平面图形的整个边界，按逆时针方向.（第二次作业）

（答案：4/3）

（2），分别对下列封闭曲线求此积分

<1>L为椭圆沿逆时针方向。

<2>L为圆周沿逆时针方向。

（答案：<1> <2>0）

例3求柱面在球面内的侧面积.

答案：

例4 利用曲线积分，求星形线

围成的面积。

（ 答案： ）

专题：曲线积分与路径无关问题

利用与路径无关可以解决：

1.将复杂曲线积分变为简单曲线的积分。

2.闭区域积分简化运算。

3.求全微分的原函数。

注意：闭区域内被积函数是否有一阶连续偏导。

例5求

（1）其中为上半圆周

,,

沿逆时针方向。

（直接利用与路径无关，答案：0）

（2）

L同上。

(稍微改动后与路径无关，变简单曲线；答案：。)

例6 利用格林公式，计算曲线积分

（1）

L是圆周从（0,0）到（1,1）的一段弧。

（答案：）

（2）曲线积分，为圆，沿逆时针方向（据第三次作业修改）

（格林公式不一定非得在下才用！

答案：5）

例7 验证下列（2y+x）dx+（2x+y）dy在整个xoy平面内是某一函数u（x，y）的全微分，并求此函数。

（答案：）

补充题：

1、设是点与点间的直线段，则曲线积分可化成定积分（ ）。

A．；B．；C．；D．。

解 直线段AB的方程为：

答案：C

2、设是抛物线上从点到点的弧段，是二元连续函数，则曲线积分化成定积分（ ）。

A．；

B．；

C．； D．。

解

答案：C

3．设是螺旋线上从到的弧段，则之值为（ ）。

A．； B．； C．； D．。

解

答案：A

4．以

为全微分的一个二元函数

解

5设为圆，沿逆时针方向，则曲线积分用格林公式计算时必出现的二次积分是。

A．； B．；

C．； D．。

6．力场将一质点沿椭圆依正向移动一周，则 所做的功是。

A．；B．；C．；D．。

解