第三次习题课

内容：第九章第一节至第四节。

重点：重积分的概念、性质与计算。

难点：三重积分的计算、重积分的应用。

专题：重积分化累次积分的定限。

原理：用微元法先求面积，再求体积。相当于数次定积分。

定限方法：“扫描定限”（以二元为例）

原则：1）后积的定范围，先积的表示成后积的表达式。

2）扫描方式：

a）竖线横扫（X-型）：先积y后积x。

b）横线竖扫（Y-型）。先积x后积y。

c）射线旋转扫（极坐标）

3）当上下限（左右限）函数表达式变化时进行分段。

注意事项：

1.关于如何选积分次序，它取决于三点：1）.判断是X型还是Y型。2）尽可能不分块。3）考虑被积函数先积的变量积分更简单。

2．先画图，将交点和交线表示出来。图形不一定精准，但是大小位置不能错。

3.对于三元函数的积分，（1）可以“先二后一”或“先一后二”。平行xoy面截痕易表示的用先二后一，投影且上下两部分曲面易表示的用先一后二。

个人看法，如果两种都能用，最好还是用“先一后二”。 事实上它也用的比较多。

例1：求下列二重积分。

1、，D：由围成。(竖线横扫)

（）

2、，

围成。

（竖线横扫：

=）

3、 D:由y=2，y=x，y=2x围成。

（横线竖扫：被积函数先积x更简单）

（ ）

4、

（横线竖扫： =0）

5、改变下列二重积分的积分次序

1)、

（答案：）

2)、

（答案：）

例2：求下列三重积分。

1、 （为单页双曲面与围成。（先二后一）

（答案：0（也可以用对称性））

2、，

围成。（先一后二）

（围成，答案：0）

3、:抛物柱面及平面所围成的区域. （先一后二）

（

答案：）

注意：关于三重积分，并不见得每一边界曲面都必须画得准确无误，先尽可能画准确常见的简单的曲面，对于较难画出的，有时只需知道投影或边界的范围。

4、求下列曲面所围成的立体体积：

及（含有z轴的部分）

（法1：二重积分

）

答案：

法2：三重积分

专题：化极坐标、球面坐标、柱面坐标问题。

1.对于二重积分化极坐标以及三重积分对于球面坐标与柱面坐标问题，一般用于被积函数或积分区域表达式含平方和的情形。柱面坐标相当于对x，y是极坐标，对z是直角坐标，球面坐标相当于完全是极坐标。注意扫描方式的不同。

2.柱面坐标实际上还是“先一后二”，只是后面的“二”将之化为二重的极坐标；球面坐标的扫描方式很特殊，先固定，先用射线定，再对分别旋转扫描。

3.关于何时用柱面，何时用球面。一般原则是：当被积范围是柱体，用柱面；当被积范围是椎体、球体、椭球体等，用球面。

例3．将下列积分改为极坐标下的积分。

1、 D:（区域平方和）

2、 （被积平方和）

（

注意下面错误的定限：，知道问题出在那里吗？）

3、（环）

（）

4、设平面薄片所占的闭区域D由螺线 上的一段弧与直线 围成，它的面密度为。求这个薄片的质量。（97页16题）

（）

例4：用球面坐标或柱面坐标计算下列三重积分。

1、计算与围成。（区域平方和，椎、球体）

（球面坐标：（注意关于zoy对称）

）

2、是由柱面及平面z=1，x=0，y=0围成的在第一卦限的闭区域。

(区域平方和，柱体，柱面坐标：

)

3.计算，其中

围成。

（柱面坐标：）

此题也可用球面坐标，但是需要分块，较麻烦。）

4.计算，其中

（球、椎体；用球面坐标：

）

专题：关于重积分的证明题。

一般方法：1.交换积分次序。

2．二重积分与一重积分互换。

例5.证明与应用：

（提示：交换积分次序即可）

例6.证明：

（提示：一重积分化二重积分）

应用题：

例7.求锥面被柱面所割下部分的面积。

答案： ）

补充题：

1．把二重积分化为极坐标系下的二次积分为 ，其中D由与 所围成。

答案：

2．。

A．；

B．；

C．；

D． 。

答案：

3．设，其中为及所围成的区域，用先二后一法化为下列积分，正确的是 。

A．； B．；

C．； D．。

答案：B

4．，为所围成的区域，用先一后二法化为下列积分，形式正确的是 。

A．；

B．；

C．；

D．。

答案：D。

5把三次积分

化为在球面坐标系下的三次积分为 。

解：

6．

A．；

B．；

C．；

D．。

答案：A

7．把化为先x后y的二次积分为：

答案：