第二次习题课
内容：第八章第六节至第八节。
重点：多元函数的微分、多元函数的极值。
难点：方向导数与梯度。
专题：空间曲线与曲面的几何问题。
曲线的切线—与二元函数的偏导数有关。
曲面的切平面—与二元函数的微分有关。
例1．空间曲面的方程为
求其在点（1,1,1）处的切平面方程。用平面：
截此曲面，求其交线在（1,1,1）的切线方程。并验证此切线在上述切平面上。
（切平面：
切线： 
，用参数方程代入验证。）
例2．求椭球面
确定的隐函数z=f（x，y）在点（1/2,1/2）的全微分。并求椭球面在点（1/2,1/2,1/2）的切平面方程。由此题可以得出什么结论？
（答案：
，
在点（1/2,1/2）的全微分：
，
切平面：
结论：全微分确定的平面即为切平面。）
专题：多元函数极值与最值与一元函数极值最值的比较：
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一元函数 |
多元函数 |
|
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极值 |
必要 条件 |
驻点：
|
驻点：
|
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充分 条件1 |
驻点+
（ |
驻点+
（A<0极大，A>0极小）
（ |
|
|
充分 条件2 |
驻点+左右单调性相反 |
--- |
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最值 |
必要 条件 |
极值点或边界点 |
极值点或边界曲线上的点 |
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充分 条件 |
闭区间连续函数所有极值点、边界点中的最大（小）值 |
闭区域连续函数所有极值点、边界线中的最大（小）值 |
|
|
充分 条件2 |
具体应用时唯一的驻点。 |
具体应用时唯一的驻点。 |
|
例3．求函数
在
的极值与最值。
（内部：极大值
；
边界线上的可能最值点：
最大：，最小：
，）
例4．求由方程
确定的函数z=f（x，y）的极值。
（驻点：（1，-1），此时z有两个值：6与-2，说明此方程确定两个函数分支，z=6的分支为极大值，z=-2的分支为极小值。）
例5．抛物面
被
截成一椭圆，求原点到椭圆的最长距离与最短距离。
（距离：
，拉格朗日函数：
驻点：
；
最长：
，最短：
。
例6 求内接于半径a的球且有最大体积的长方体。
（拉格朗日乘数法，各边边长为
时，体积最大，最大值为：
）
专题3 方向导数、梯度、偏导数与微分的关系。
可微
有任意方向的方向导数
方向导数
偏导
方向导数
梯度（值）
等高线的方向
梯度的方向
注意：偏导、方向导数均是数量，梯度是向量。方向导数可以看作是梯度在此方向的投影。
例7．求函数
在曲线
上点（1,1,1）沿曲线在该点的切线正方向的方向导数。并求此点梯度以及沿着梯度方向的方向导数。最后的结论说明什么？
（切线正向：{1,2,3}， 方向导数：
梯度：{2,2,2}，方向导数：
。此方向导数值即为梯度的模。说明梯度方向就是方向导数最大的方向。换句话说，梯度的模即为最大的方向导数。）
例8：（练习册）求函数
在点
处沿曲线
在这点的内法线方向的方向导数。
（答案： 
）
例9．在椭球面
上求一点，使得函数
在该点沿
的方向导数为最大。
（设此点为（
）方向导数：
构造拉格朗日函数：
答案：最大值点：（-1/2,1/2）， 最大值：1）
补充题：
1.求曲线
上的点，使
在该点的切线平行于平面
。
解： 切向量
平面法向量
，
即
，所求的点为
。
2.求曲面
到平面
的最短距离。
解： 曲面上点
到平面
的距离为：
，
因为
与
极大值相同，令：
由
解得，
可能的极值点为：
，
比较得 
。
3.设
是由方程
所确定的隐函数,则当
时,
.
； 
；
；
（答案：D）