第一次习题课

内容：第九章第一节至第五节。

重点：多元函数的极限与连续性、多元函数的偏导。

难点：多元函数极限的存在性。

表：多元函数的极限、连续、偏导、微分与一元函数的对应概念的比较。

		一元函数	多元函数（以二元为例）
极限	公式
	自变 量
连续	公式
	联系	连续极限存在	连续极限存在
导 数	公式
	联系	可导连续	可偏导与连续无必然关系
微分	公式
	理解	以直线 代曲线	以平面代曲面
	联系	可微 可导； 可微连续	可微可偏导； 可微连续； 偏导连续可微。

专题1 多元函数的极限问题

多元函数的极限的判断较为复杂，但是也可以总结出一般的原则：多个变量的问题尽可能变成“单个变量”的问题。即“整体代换法”。然后求一元函数的极限的方法可以完全移植过来。

例1 求下列二元函数的极限。不存在的说明原因。

（1）

提示：xy看成一个整体。

答案：。

（2）

提示：看作整体。

答案：2.

（3）

提示：重要极限。x-y作为整体。

答案：

（4）

问：能否：

？

说明原因。

提示：1） 趋于1

2） 趋于；

答案：不存在.

（5）

提示：分别沿着y=x及y=2x。

答案：不存在。

例2 判断下列函数在（0,0）点的连续性和是否可偏导，是否可微。

（1）

答案：连续，有偏导，不可微。

（2）

答案：不连续，有偏导，不可微。

专题：多元函数求导（偏导）的原则。

标准公式：

方法：遍历有向链法。

1. 遍历有向链法的原理

根据多变量处理的“逐一处理”以及“逐级处理”的原则

2. 遍历有向链法的具体操作步骤

用人伦关系比喻变量之间的关系.

关于求导及求偏导

1) 罗列所有变量，变量之间用有向线段相连，各有向线段的箭头由“父亲”指向“儿子”，最终形成一个有向链图.

2) 若需要求某个导数（偏导），由此导数（偏导）式中分子对应的变量开始，到分母对应的变量终止，按有向链图的箭头方向逐级遍历（即所有路径都走一遍，不重复、不遗漏）所有的路径.每一条路径用一项表示，同一项中每经过一步写一个导数（或偏导）式作为其因子，然后将各种路径对应的项相加.

3) 所有式子中，若分子与分母之间无“旁系亲属”（即分子对应变量的后代中不存在分母对应变量的“兄弟”或旁系“长辈”）则写成导数形式，否则写成偏导形式.

x

如以下的w对t必须写成偏导形式：

要点与注意事项

1）因变量在第一列，中间变量在第二列，自变量在第三列。（有的变量既作中间变量，又作自变量，因此可据情况占几个位置）

2）项数取决于中间变量的个数。

3）每一项的因式个数取决于每一单链的“长度”。

例3 求下列函数的偏导

（1），，求。

提示：注意x的地位。

答案：

）

（2）

答案：，；

（3）设，求

答案：）

（4）设，有二阶连续偏导，求。

答案：

（5）设，其中f有连续偏导数，求。

答案：

（6）设具有二阶连续偏导数，且

满足，

，

求.

答案：

注意：二阶偏导的有向链图“换头不换身”

例4 求下列隐函数的偏导

提示：隐函数的偏导原则：一个方程解一个“未知量”。

（1）

答案：

（2），求

提示：必须先搞清变量之间的关系。

答案：）

（3）设是由方程

所确定的二元函数，求及。

提示：直接用微分做更简单，但概念要清楚。要灵活利用“微分形式的不变性”。就是求“d”时不需要去管变量是自变量、中间变量还是因变量。

（，）

（4）设，求.

.

补充题：

1.，则 在点处 （ ）

A．连续，且偏导数存在；B．不连续，但偏导数存在；

C．连续，但偏导数不存在；D．不连续，但偏导数不存在。

答案：

2.设，则。

3.设，求。

解：方程两边对求偏导数得：

解得，

4.设且，其中具有二阶连续偏导数，求。

解： ，

5.对函数在点来说，下列说法

正确的 （ ）。

A．若函数在该点的极限存在，则函数在该点连续；

B．若函数在该点的两个偏导数存在，则函数在该点连续；

C.若函数在该点的全微分存在，则函数在该点连续；

D.以上说法都不正确。

答案：C