总复习1

本高等数学1讲的内容基本可以归结为：一个思想：极限的思想；两个体现：微分与积分。

一．基本概念及其计算

1.求极限；2.求导数与微分；

3.求极值、最值；4.求不定积分；

5.求定积分；6.求面积、体积与弧长；

7.求平面与直线的方程。

二．应用（重点是几何应用）：

1.利用导数求切线；

2.利用定积分的元素法求面积体积与弧长；

3.最值问题。

综合练习(精选)

一． 计算

1. 计算下列极限

说明：在习题课上已经总结了许多求极限的方法。但最开始应该想到的还是罗比达法则以及两个重要极限。

*（1）

答案：

*（2）

提示：通分后用罗比达。答案：0

*（3） （04-05）

提示：罗比达结合重要极限。 答案：-1

**（4）（08-09）

答案：0

**（5）

提示：等价无穷小替换。答案：1

**（6）（07-08）

提示：重要极限结合罗比达。答案：

*（7）

提示：分母有理化 答案：2

*（8） （07-08）

答案：1

（9）

答案：0

**（10）

提示：注意变上限积分求导。答案：1/2

2．计算下列导数

*（1） ，求

答案：

**（2），求

答案：

*（3），求。

答案：

**（4） ，求

提示：严格按照定义求。 答案： 0

**（5）设求（06-07）

答案：

*（6）已知，求

答案：1。

*（7）已知，求．

答案：

*（8），求（02-03）

答案：

3．计算下列不定积分

*（1）

提示：分部。 答案：

*（2）（08-09）

提示：凑微分.

*（3）

提示：1/x凑微分加半角公式.

答案：

*（4）

提示：cotx化正余弦。答案：

**（5）

提示：凑微分后化有理。

**（6）

提示:分子有理化。

答案：

**（7）（07-08）

提示：第二类换元。

答案：

**（8）

提示：分部消x.

答案：

**（9）

答案：

**(10)

提示：

4.计算下列定积分

*（1）

提示：先用倍角公式再分部。答案：

*（2） （02-03）

提示：利用奇偶函数。答案：

**（3）（96-97）

提示：分段、换元、抵消。

答案：

*（4）

提示：利用偶函数。答案：

（5）设求.

答案：

（6）

提示：暇积分 答案：1。

（7） 求

提示：分部。答案：

（8）

提示：暇积分。 答案：发散

（9）

答案：

**(10)

提示：注意对于无穷限的积分若两边都是无穷，应该分别取极限。不能用奇函数性质。答案：0

5.向量代数、平面与直线等。

说明：此部分题目以平面与直线为多。单纯向量的运算的较少。

*（1）直线过，与平面：平行，又与直线：垂直，求直线的方程.（08-09）

提示：直线与平面的法线以及另一直线的方向向量均垂直。用外积。

答案：

*（2）已知直线

，，

a．求的方向向量；b，验证：与平行；c，求过，的平面方程。（05-06）

答案：的方向向量：{3，-2,1}

（3）求经过点A（-1,2,3），垂直于直线

且与平面平行的直线方程。

答案：

**（4）求直线与直线间的距离。

提示：这是平行线。（答案：）

（5）求过直线且与平面成角的平面方程。

提示：利用平面束。

答案：，

（6）求过点M（1,1,1）且与直线和都相交的直线方程。

答案：

二、判别

1.有关连续性、间断点、可导性等判别

**（1）讨论函数的连续性，如有间断点，说明其类型.

答案：x=0间断，第一类跳跃间断点。

*（2）设函数在上连续，求a。

答案：

**（3）设，求f（x）的间断点并说明其类型。

答案：x=1：第二类无穷，x=0：第一类跳跃

***（4）已知，其中有二阶连续导数，且g（0）=1.

1)、确定的值，使在点连续；

2)、求

（答案：1、；

2.

2.曲线的性状的判别

（1）求的单调区间，极值点；凹凸区间和拐点。（06-07）

答案：，

单调增单调减，x=1极大.

凸，凹。X=2为拐点。

（2）a）求的单调区间，凹凸区间和拐点。

b）已知直角三角形的斜边长为，当两条直角边长为何值时，其周长最大？（05-06）

答案：

单调区间：x<0,单调减，单调增

凹凸区间：为拐点，

：凸；；凹，：凸

（3）绘出函数的图形。

略

（4）求函数的凹凸区间与拐点。

答案：

拐点

：凸：凹：凸：凹

三、证明：

说明：证明题主要出现在第三章的微分中值定理以及定积分部分。

*1. （不等式）试证：当时，有成立．

提示：在利用增函数。

**2.（不等式）证明：

提示：令利用函数的凹性。

**3．（导数中值）设在上连续，且

证明：

1）存在使

2）．存在使得 （05-06）

（提示：1）令

2）先对f（x）用中值定理得存在使得然后对用介值定理。）

**4. （中值，定积分）设函数与在闭区间上连续，证明：至少存在一点，使得：

. （08-09）

提示：令，然后在上用罗尔定理即可。

***5．（根的存在及个数）证明方程有且仅有三个实根.

提示：易知有两个实根x=0，1.在[2,又可以据介值定理找到一个实根。最后用反证法可以证明仅有三个实根。逐一用罗尔定理，可以证明如有四个根，那么其三阶导必有一个值为零……

**6．（定积分）f(x)为[a,b]上的单调增加的连续函数，求证：

提示：不等式等价于

即：

对令，则此式成为

对令，则此式成为

故（注意：T-a=b-T）：

。。。

**7.（定积分）设在上连续，是偶函数，满足条件（为常数）

（1）证明：

（2）计算 （06-07）

提示：积分区间对半，换元。

（2）令

答案：原式==

*8. 设在上连续，在内可导，且，证明：存在，使 （00-01）

提示：利用积分中值定理在[2/3,1]找到一点的值为f（0）。

9. 设函数在上连续，单调不减且，试证：函数

在上连续，且单调不减。（其中）（02-03）

提示：要证明x=0右连续。同时：x>0时

据积分中值定理：

据f（x）单调不减立即可得：

四、应用题

应用题大部分在于定积分微元法的几何应用。有一部分是极值问题。

*1. 求由抛物线和所围成的图形的面积，并求此图形绕x轴旋转所成的旋转体的体积。（05-06）

答案：面积：

体积：

**2．求由以及所围成的平面图形的面积，又当k为何值时该面积最小？（04-05）

答案：面积：

得k=时面积最小

*3. 求由曲线y=x³与直线y=-x+2，x=0围成的平面图形面积.

答案：5/4

**4．一根弹簧按阿基米德螺线盘绕，共10圈，每圈间隔10mm，求弹簧全长。

答案：

**5. 在半径为r的半圆内，作一个内接梯形，其底为半圆的直径，其他三边为半圆的弦．问怎样作法梯形面积最大？

答：设高为h。面积S=

得

时面积最大。

**6. 从直径为d的圆形树干中切出横断面为矩形的梁，此矩形的底等于b，高为h，若梁的强度与成正比，问梁的横断面尺寸如何，其强度最大？

答：设强度为Q。而

故，

b=时强度最大。

**7. 要制造一个无盖的圆柱形桶，体积为。问底半径和等于多少时，才能使表面积最小？（06-07）

答：

表面积:

令其为零，得

说明：后面标注的如（06-07）表示式取自06-07年度本校的试题。

打*号的表示难度，一个*表示较为简单的基本题，两个*表示难度中等，三个*表示较难。