§3 矩阵乘积的行列式与秩 <<返回
一.矩阵乘积的行列式
1.定理1
设是数域上的两个
矩阵，那么
, (1)
证明:这实际上是第二章第8节已经证明了的结论(定理7,C即AB的行列式)
用数学归纳法，定理1可以推广到多个因子的情形.
推论1
设是数域上的矩阵，于是
2.定义6
数域上的矩阵称为非退化的，如果
，否则称为退化的.
3.(1)矩阵是非退化的充要条件是它的秩等于.
(2)(
定理1的推论2
)设是数域上矩阵，矩阵为退化的充要条件是中至少有一个是退化的.
证明:由“方阵是退化的当且仅当其行列式为零”与定理1……
二.矩阵乘积的秩
定理2 设是数域上矩阵，是数域上矩阵，于是
, (2)
即乘积的秩不超过各因子的秩.
证明:实际上只须证.利用向量的线性表示与矩阵的乘积的关系……
用数学归纳法，定理2可以推广到多个因子的情形，即有
推论3 如果，那么
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