高等代数2试卷4B答案         返回

一、填空题（共24分）

1．实对称矩阵的属于不同特征根的特征向量是彼此 正交 。

2．若是线性空间的一个基，则满足条件

（1）是 线性无关 ；

（2）对中任意向量，有 能被线性表示 .

3．设是向量空间的一个基，由该基到 的过渡矩阵为___________________。

4. 设为线性变换，为欧氏空间，若都有，则

为 正交 变换。

5. 设矩阵是阶零矩阵，则的个特征值是 0 。

6．设矩阵A的不变因子为,则其初等因子为 。

7．多项式在实数域上的标准分解为 。

二、（10分）设是R的一个基，而是另一组基，求由到的过渡矩阵，并求向量在下的坐标。

解：因为

，

， （4分）

所以

（8分）

据已知， 在 下的坐标为（5，-4，9，-2）（10分）

三．（10分）求多项式的所有有理根。

解：根据整系数有理根的判别法，多项式的有理根必满足S|4,r|1,（3分）因此，所有可能的根为,（6分）代入验算得=0。（9分）

因此有理根为(10分）

四．（20分）判断

（1）中的子集是否为的子空间。

（2）中的子集是否为的子空间。

解：（1）任意取子集中的两个元素，即有

故

因为 ，所以子集关于加法封闭。

又对任意，,而。所以子集关于数乘封闭。它是子空间。

（2）取子集中的两个元素f(x),g(x),即

f(x)+g(x)的次数有可能小于4，如

因为，因此它关于加法不封闭。它不是线性空间。

五、（10分）求矩阵的若尔当标准形.

解：

（2分）

因为，且中有一个n-1级子式为

（6分）

由上可见A的行列式因子为

1，1，…，1, （8分）

所以它的初等因子为1,…,1,（10分）

所求若尔当标准形：

（12分）

六.(8分) 设A是任意实对称矩阵，证明：存在实数t，使得tE+A是正定矩阵。（E是单位矩阵）

[证明]：因为A是n阶实对称矩阵，所以A的特征值l₁,…,l_n全部为实数。（2分）于是tI+A 的特征值为t+l₁,…,t+l_n 。（4分）取 t= max{|l₁|, |l₂|,…,|l_n|}+1，则tI+A 的特征值t+l₁,…,t+l_n全大于0，（6分）于是tE+A是正定矩阵。（8分）

七(8分)证明:一个正交变换的逆变换还是一个正交变换。

证明：设线性变换A为线性空间V中的正交变换，则对应某标准正交基下的阵为正交阵A。(2分)根据线性变换与矩阵的对应关系，A^-1 对应A^-1 . （4分）

因为正交阵的逆阵仍为正交阵，所以A^-1为正交阵。（6分）因此对应A^-1为正交变换。（8分）

八．（8分）证明： 设是三维欧氏空间的一个标准正交基，试证：

也是的一个标准正交基。

证明：

，

所以为V的一组标准正交基.(8分)

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