高等代数2试卷3B答案           返回

一.填空 (30分,每空3分)

1．Rⁿ的子空间V={(x₁,x₂,…,x_n) | x₁+x₂+…+x_n=0}的维数是 n-1 。

2.A是数域P上一个n´n矩阵，f(l)=|lE-A|是A的特征多项式，则f(A)= O .

3．设 s 是n维线性空间V的线性变换，则 s 的秩+ s 的零度 = n .

4．已知四阶矩阵A相似于B，A的特征值为0，2，4，5，其中 E为四阶单位矩阵，则|B-E| = -12 .

5．数域W上的所有n阶对称矩阵构成的向量空间的维数为 。

6． 设是向量空间V的一个基，线性变换s在此基下对应的矩阵为，则s在基下对应的矩阵为 。

7．如果A是正交矩阵，k为实数，要使kA为正交矩阵，则k等于 。

8．数域F上任意一个n维向量空间都与 同构。

9．设V为线性空间, A为V上的线性变换。则它的子集W成为V的A-子空间必须满足的两个条件是 W关于V中的加法与数乘封闭 和 .

二.(14分)在线性空间(P为数域)中,有两组基

与. 到的过渡矩阵为,求基在基

的坐标。并求 在基下的坐标。

解：据已知，,而由的坐标知，到，所以

因此基在基上的坐标分别为（1，-2，1），（-1，1，2），（1，0，1）（8分）。

由上，在基 下的坐标为（1，-1，4），（10分）又

所以在基下的坐标为

（14分）

三．（12分）设矩阵A=的特征多项式有一个二重根，求a的值，并讨论A能否对角化。

解:A的特征多项式为 |lE-A|=（2分）==(l-1)

=(l-1)(l²-3l -a-2) （4分）

(1) 当l=1是特征方程的二重根，则有 1²- 3 – a - 2=0 解得a= -4. （6分）

当a= - 4时，A的特征值为1,1,2, 矩阵I-A=的秩为1，故l=1对应的线性无的特征向量有两个，从而A可相似对角化。（8分）

(2) 若l=1不是特征方程的二重根，则l²-3l -a-2为完全平方，从而9+4a+8=0，解得a = - 17/4

（10分）当a = - 17/4时，A的特征值为1，3/2，3/2，矩阵 I-A=, 秩为2，故l=3/2对应的线性无关的特征向量只有一个，从而A不可相似对角化。（12分） ÿ

四．(10分) 设 a₁=(1,0,2,1), a₂=(1,1,0,0), b₁=(1,0,1,0), b₂=(0,0,0,2),

求：(1) L(a₁,a₂)与L(b₁,b₂)的维数;

(2) L(a₁,a₂) + L(b₁,b₂)的维数;

(3) L(a₁,a₂)ÇL(b₁,b₂) 的维数.

解：（1）因为a₁,a₂线性无关，所以L(a₁,a₂)的维数为2，因为b₁,b₂线性无关，所以L(b₁,b₂) 的维数也为2。

（2）

[解] (1).因为a₁ ,a₂线性无关，所以dim L(a₁ ,a₂)= 2 .（2分）

因为b₁ ,b₂线性无关，所以dim L(b₁ , b₂)= 2 （4分）

(2) 因为 a₁ ，a₂，b₁,b₂ 线性无关 .

所以dim (L(a₁ ,a₂)+ L(b₁ , b₂)) = 4 .（7分）

(3) 根据维数公式，dim (L(a₁ ,a₂)Ç L(b₁ , b₂)) = 2+2-4 = 0 . （10分） 

五．（10分）在欧氏空间R³里找出单位向量h，使它们同时与向量a₁=(2,2,-4), a₂=(1,1,2)正交。

[解]：(1) 设所求的向量为 h=(x₁,x₂,x₃), （1分）则： （4分）

→→（6分）

解为h₁=(-1,1,0) （8分）

单位化 h=(-1,1,0) 为所求的。（10分）

六．（12分）设 e₁,e ₂,e₃,e₄ 是四维线性空间V的一组基，已知线性变换 s 在这组基下的矩阵为

A = 求 s 的核与值域。

[解] A = →（2分）→ （4分）

则齐次线性方程组 AX=0 的基础解系为 h₁= h₂= （6分）

令 a₁=2e₁+e₂ , a₂= -41e₁+15e₃+e₄ , （7分） 则 s 的核为 ker(s) = L(a₁, a₂) （9分）

因为A的列向量组的最大无关组为A第一列与第三列，

令 b₁=e₁+2e ₂+6e₃+7e₄ , b₂=3e₁+5e ₂+17e₃+18e₄ （10分） 所以s的值域为 Im(s)=L(b₁ , b₂) 。（12分） ÿ

七．(12分)证明题

1．证明：如果n维线性空间V中两个子空间V₁ ，V₂的维数之和大于n，那么V₁，V₂含有非零的公共向量。

证明：因为 dim(V₁+V₂) + dim(V₁ÇV₂) = dimV₁ + dimV₂ > n （2分）

又 V₁+V₂ 是V的子空间，所以 dim(V₁+V₂) £ n （3分）

于是 dim(V₁ÇV₂) > 0 （5分）

所以 V₁ÇV₂ 中含有非零向量，即V₁，V₂含有非零的公共向量。 （6分）

2．设是线性空间V的一个线性变换，且（k>0），求证线性无关。

证明：设，满足

（2分）

两边同时作用，据，得，又据得=0，（4分）因此有，对上式两端同时作用，同理可以证得=0。（5分）依此类推，可得，=0，从而线性无关。（6分）

　

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