高等代数2试卷2B答案                     返回 

 

一、填空（每空3分,共30 分）

 

1.数域P中的维数不大于n的线性空间依同构分类,分  n    类。

2．若V₁，V₂是线性空间V的两个有限维子空间，则dimV₁+dimV₂_   __dim(V₁+V₂),                 当且仅当      时，取等号。

3.若n维线性空间V中的线性变换的秩为r ,那么的值域的维数为  r   

4. 设三阶方阵A的三个特征值为1，a，-2，且= 6,则a=   -3   .

5.若3是矩阵A的特征值,则的特征值中必有  2/3   .

6.初等因子对应的若尔当块为     ，初等因子对应的若尔当块为     .

7.标准正交基的度量矩阵为   单位矩阵    .

8.在n维欧氏空间V中,若子空间的维数为r ,则其正交补的维数为  n-r  。

 

二、（15分）在线性空间R⁴中，求向量(1,1,1,1)在基

                  

A:  (1,0,0,0)    (1,1,0,0)   (1,0,1,0)   (1,0,0,1)

 

下的坐标。并求基A到基B:  (1,0,0,0)  (1,1,0,0)  (1,1,1,0)  (1,1,1,1) 的过渡矩阵。

 

解：依题意，(1,1,1,1)在基C:

                 

下的坐标为(1,1,1,1)。（2分）而C 到 A的过渡阵为 （5分）

            

因此(1,1,1,1) 在基A下的坐标为

（8分）

    另外，因为由已知，C到B的过渡矩阵为（10分）

所以 A 到B 的过渡阵为

（15分）

 

 

三、（15分）设实数域上线性空间的线性变换在某组基下的矩阵为.求它在正交变换下的标准形(要求写出正交变换)。

解： （4分）

令上式等于零，得特征值1，10。（5分）

当时，求得对应的特征向量为。（7分）它们是正交的，单位化得

 

（9分）

当  时，求得对应的特征向量为。单位化得。（11分）

    因此正交变换的矩阵为。（13分）

标准形为。（15分）

                

四.(15分)若数域P中的线性空间V的线性变换A在基

                          

下的矩阵为

                    

 求A的值域与核及其维数。

 

解：1）据概念，有

A   （3分）

因为A的值域为L（A，A，A，A）。因此

  （6分）

 

A的秩为3。（7分）从上可见，A，A，A，线性无关。（8分）所以A的值域的维数为3。且

                  A的值域为L（A，A，A） （9分）

2）设 为A的核中的任一元素。则

                         （11分）

得通解：。（14分）这就是核中的所有元素。核的维数为1。（15分）

 

 

五.(15分)已知

                                       

是R的两个子空间,求W₁∩W₂, W₁+W₂的基与维数。

证明：W₁∩W₂= 。（2分）因为对W₁∩W₂中的任意元 ，都可以表示成的形式，（5分）所以W₁∩W₂ 的基为，维数为1。(7分)

    ，（8分）因为中的元素可以表示成

（11分）

而易见

这三个向量线性无关，（13分）因此W₁+W₂ 的基为 ，维数为3。（15分）

 

 

六、（10分）设A是维线性空间的一个线性变换，证明A的属于不同特征值的特征向量线性无关.

证明：设A有r个特征向量，它们分别属于r个不同的特征值：

再设存在一组数 ，使

（2分）

现在设线性相关，不妨设全不为零。（4分）

对两边作线性变换A，得

              

继续作线性变换A，得。

重复上面的步骤，得

（7分）

将上面的式子合起来，得

     =0（8分  ）

因为为范德蒙行列式对应的矩阵，所以它可逆。上式成为

矛盾！因此  线性无关（10分）