高等代数1试卷1B答案

一． 填空题（21分，每空3分）

1．已知，其中，则_______。

2．设都是阶可逆阵，，则______。

3．设是一个矩阵，是一个矩阵,那么是一个_____阶矩阵，它的第i行第j列元素为________。

4．设，则A的秩为       3     。

5．设，都是可逆矩阵，矩阵C=AB的逆矩阵可表示为________。

6．设方阵，且，则行列式_____4___。

二．选择题（24分，每题3分）

1．是矩阵，是矩阵，若的第列元素全为零，则下列结论正确的是（A）

（A）的第列元素全等于零 （B）的第行元素不全等于零

（C）的第列元素全等于零 （D）的第行元素不全等于零

2．均为阶方阵，为阶单位矩阵，若，则有                (C)

(A) （B） （C） （D）

3．设是5阶方阵，且，则=                                      （D）

（A） （B） （C） （D）

4．设是的伴随阵，则为 （C）

(A)E  (B)|A|   (C)|A|E    (D) 以上均不对

5．设，是两个矩阵，是n阶方阵，那么 （D）

(A)            (B)

(C)   (D)

6．设，则                                                 ( A )

(A)      (B)      (C)      (D)

7．若可逆，则的解是=                                     （C ）

(A) 不存在  (B)   (C)   (D)

8．设，若，则P=                        ( A )

(A)      (B)

(C)      (D)

三．（8分）解矩阵方程

解：

所以     (写对第一个矩阵2分，其余矩阵1分，最后结果2分)

四．（5分）计算行列式

（每个等式1分）

五（10分）求线性方程组

的通解。

解：增广矩阵为：

（第一个与最后一个矩阵各2分，其余各1分，共6分）

所以方程组有解。其同解方程组为：

（2分）

由此得方程组的通解：

为任意实数） （2分）

六（8分）判别下列二次型的正定性：

解：二次型对应的矩阵为：

（2分）

其一阶顺序主子式为：10>0.（1分）

其二阶顺序主子式为：。（2分）

其三阶顺序主子式为：=（2分）

所以此二次型是不定的。（1分）

七．（6分）设是阶可逆阵，调换的第列与第列得到矩阵.求证可逆。

证明：设A对应的列向量组为：.因为A可逆，所以A 满秩，即

的秩为n.(3分0而调换A 的 i 列与 j列后得到 B 对应的列向量组仍为。因此 B 的列秩为n 。(2分)即有 B 为可逆阵。(1分)

八．（8分） 证明：若向量组的秩为3，且此向量组与向量组

等价，则向量组的秩为3.

证明：因为向量组的秩为3，所以其最大无关组有3个向量。不妨设为其最大无关组。 （2分）

据向量组的最大无关组与原向量组等价，且已知与等价，可得与等价。（2分）所以能被线性表示。综上，能被线性表示。(2分)而且线性无关。所以是的线性无关组。故的秩为3.(2分)

九 (10分)证明：设是数域上的不可约多项式, 则在复数域上没有重根. 此命题的逆命题是否成立? 为什么?

证明：因为作为不可约多项式，其因式为c或c。（2分）

另一方面，因为，所以

故。从而在复数域上没有重根。（4分）

此命题的逆命题不成立。反例：

，显然在复数域上有四个根：.但它是实数域上的不可约多项式：

（4分）